olympiade

Exercice 1 :
Soit a un réel non nul.
Sachant que (1/a^3)+(a^3)=18 calculer (a^4)+(1/a^4)

(a+1/a)^3= a^3+ 1/a^3 +3(a+1/a)=18+ 3(a+1/a)

on pose a+1/a=x
on dois résoudre x^3=18+3x
x^3-3x-18= x^3-9x+6x-18=x(x²-9)+6(x-3)=(x-3)(x²+3x+6)=0
x²+3x+6 n'égale pa 0 car delta inférieur à 0 donc x= 3

donc a²+1/a²= 9-2=7
a^4+1/a^4= (a²+1/a²)²-2=49-2=47

(a+1/a)^3= a^3+ 1/a^3 +3(a+1/a)=18+ 3(a+1/a)

on pose a+1/a=x
on dois résoudre x^3=18+3x
x^3-3x-18= x^3-9x+6x-18=x(x²-9)+6(x-3)=(x-3)(x²+3x+6)=0
x²+3x+6 n'égale pa 0 car delta inférieur à 0 donc x= 3

donc a²+1/a²= 9-2=7
a^4+1/a^4= (a²+1/a²)²-2=49-2=47