les suites

soit f une fonction definie sur R et deriviable 2 fois sur R tel que f"(x)>=0 et f'(x)<=0
1-montrer que: f(x)-f(x-1)<=f'(x)<=f(x+1)-f(x)
2-en deduire que la suite Un=1/1²+1/2²+....+1/n² est convergente
3-sachant que (arctan(x))'=1/1+x²
calculer la limite de la suite:
Vn=1/(1+1²)+1/(1+2²)+......+1/(1+n²)

1-on a f' est croissante
f(x)-f(x-1)= f'(c) avec x-1<c<x th AF
donc f(x)-f(x-1)=< f'(x) de meme f'(x)=<f(x+1)-f(x).
2- f(x)=1/x verifie les hypothèses
alors : -U_n=sum'(1^n,f'(i) )
alors sum(2^n, f(i)-f(i+1)+1 =<Un=<sum(2^n,f(i-1)-f(i)) +1
alors 1/2+1-1/(n+1)=< Un=< 2- 1/n
or Un) est croissante donc converge.
3 - on fait de meme....
bon courage les bosseurs!

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