exo très important

soit f une fonction continue et deriviable 2 fois sur R et a et b 2 reels tel que:
a<b ; f(a)=a ; f(b)=b
1) montrer qu'il existe un reel c appertenant a ]a;b[ tel que f'(c)=1
2) supposons que (f'(a)-1)(f'(b)-1)>0 montrer que:
a) l'equation f(x)=x admet une solution au moin ds l'interval ]a;b[
b) l'equation f'(x)=1 admet 2 solution differentes au moin ds l'interval ]a;b[
3) supposons que f'(a)>k (k un reel fixe sup a 1)
montrer que l'equation f(x)=kx admet au moin une solution ds ]a;b[
4) supposons que (f'(a)-1)(f'(b)-1)<0
a) montrer que le systeme {f(x)=x ; f'(x)#1}
soit il n'admet pas de solution soit il admet au moin 2 solutions ds l'interval ]a;b[
b) montrer que si le systeme admet au moin 2 solutions
alors l'equation f"(x)=0 admet au moin 2 solutions ds ]a;b[