Ensemble d inegalités

je les recommande beaucoup aux élèves du tronc commun
et les autres bienentendu.

bonne chance

(a²+b²/c)+(b²+c²/a)+(c²+a²/b) >= 2ab/c+2bc/a+2ca/b=2/a²+2/b²+2/c²
et puiske la fonction x--->2/x² est covexe sur R+ alors d'aprés l'ineg de jenson:
1/3(2/a²+2/b²+2/c²)>=2/((a²+b²+c²)/3)>=2/(rac3eme(abc))=2
conclu: (a²+b²/c)+(b²+c²/a)+(c²+b²/a)>=6

2) (a+b/a²+b²)+(b+c/b²+c²)+(c+a/c²+a²)<=(a+b/2ab)+(b+c/2bc)+(c+a/2ca)=2(1/2a+1/2b+1/2c)=1/a+1/b+1/c

3) si n est paire alors d'aprés le reordonement
1/(a+b)^n+1/(a-b)^n>=1/((a+b)(a-b))^(n/2)+1/((a+b)(a-b))^(n/2)=2
si n est impair alors d'aprés le reordonement
1/(a+b)^n+1/(a-b)^n>=1/(((a+b)(a-b))^(n-1)/2)(a+b) + 1/(((a+b)(a-b))^(n-1/2)(a-b) = 1/a+b + 1/a-b =(a+b+a-b)/a²-b²=2a
et puisque a²=1+b²>=1 alors 2a>=2
conclu S>=2 kelke soit n de N

poincaré_07 a écrit:

(a²+b²/c)+(b²+c²/a)+(c²+a²/b) >= 2ab/c+2bc/a+2ac/b

de la tu pouvais conclure en utilisant AM-GM .

pour la troisieme il faut seulement voir que a^2-b^2=1 est equivalente à a+b=1/a-b alors tu auras a demontrer que (a+b)^n+1/(a+b)^n >=2 !
qui evidente.
je vous laisse reflichir au 4 ieme.