exo des suites

va-t-on reflichir tous a l exo 37 du manuel d analyse page :62.
demain apres 18:00 on le discutera si vous voulez bien.

on sait que : tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)
donc : tan(arctan(x)-arctan(y))=(x-y)/(1+xy)
c a d : arctanx-arctany=arctan((x-y)/(1+xy))
on remplace x par (n+1)! et y par n! :
arctan((n+1)!)-arctan(n!)=arctan((n+1)!-n!)/(1+n!(n+1)!)=arctan(nn!/(1+(n!)²(n+1)))
ce qui fait que : sigma(kk!/(1+(k!)²(k+1)))=arctan((n+1)!)-arctan(1)=arctan((n+1)!)-(pi/4)
conclusion : lim(sigma(kk!/(1+(k!)²(k+1))))=pi/2-pi/4=pi/4

les meme questions pour : f(n)=arctan(1/(2(n+1)²))